FPB dan KPK

  A.    FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan.

Cara mencari FPB:

1.      Menggunakan himpunan faktor persekutuan

Contoh: Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24!

Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = {1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 = 6

2.      Menggunakan pohon faktor

a.       Membuat pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.

b.      Menuliskan faktorisasi primanya.

c.       Memilih bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.

d.      Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, mengambil bilangan prima dengan pangkat terendah.

Contoh: Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30!

Keterangan:

a.       2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima pada kedua pohon faktor.

b.      Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

c.       Pangkat terendah dari 5 adalah 1.

d.      Maka FPB = 2 × 5 = 10.

3.      Menggunakan tabel

a.       Membuat tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.

b.      Memberi tanda faktor prima yang sama.

Contoh: Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54!

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB = 2 × 3 × 3

                    = 2 × 3²

        = 18

B.        KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan.

Cara mencari KPK:

1.      Menggunakan himpunan kelipatan persekutuan

Contoh: Tentukan KPK dari 8 dan 12!

Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}

Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ...}

Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = {24, 48, ...}

KPK dari 8 dan 12 = 24

2.      Menggunakan pohon faktor

a.       Membuat pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.

b.      Menuliskan faktorisasi primanya.

c.       Mengalikan semua faktorisasi prima.

d.      Jika suatu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, maka mengambil bilangan dengan pangkat tertinggi.

Contoh: Tentukan KPK dari 8, 24, dan 36!

Keterangan:

a.       2 dan 3 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.

b.      Pangkat tertinggi dari 2 adalah 3.

c.       Pangkat tertinggi dari 3 adalah 2.

d.      Maka KPK = 2³ × 3² = 72.

3.      Menggunakan tabel

a.       Membuat tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.

b.      Mengalikan semua faktor prima.

Contoh: Tentukan KPK dari 16 dan 40!

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

         = 2⁴ × 5 = 80

Contoh soal cerita yang berkaitan dengan FPB dan KPK:

1.      Doni mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru. Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak. Berapa kantong yang diperlukan? Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong?

Penyelesaian:

FPB dari 20, 28, dan 36.

	20	28	36
2	10	14	18
2	5	7	9
3	5	7	3
3	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB dari 20, 28, dan 36 = 2 × 2 = 4

Jadi jumlah kantong yang diperlukan = 4 kantong.

Isi tiap kantong:

a.       Kelereng merah = 20 : 4 = 5 butir.

b.      Kelereng putih = 28 : 4 = 7 butir.

c.       Kelereng biru = 36 : 4 = 9 butir.

2.      Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari. Pak Karim mendapat giliran ronda setiap 6 hari. Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari. Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama? Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 Januari 2008, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi?

Penyelesaian:

KPK dari 4, 6, dan 8.

	4	6	8
2	2	3	4
2	1	3	2
2	1	3	1
3	1	1	1

KPK dari 4, 6, dan 8 = 2 × 2 × 2 × 3

                                  = 2³ × 3

                                  = 8 × 3

                                  = 24

Jadi mereka ronda sama-sama lagi pada tanggal 25 Januari 2008.